E1) Der Zerfall eines radioaktiven Stoffes kann durch das Zerfallsgesetz beschrieben werden mit lambda = 0,5264, wenn t in Minuten angegeben wird.

a) Berechne die Abnahmerate pro Minute.

b) Bestimme die Halbwertszeit.

c) Anfangs waren 4*10¹⁰ radioaktive Kerne vorhanden. Berechne, wie viele Kerne nach Ablauf der Halbwertszeit noch nicht zerfallen sind.

E2) Exponentielles Wachstum einer Bakterienkultur: Nach 3 Stunden sind 1200 Bakterien, nach 5 Stunden sind bereits10 000 Bakterien vorhanden.

Anfangsbestand = ?

Wachstumsfaktor = ?

E3) Nach 6 Monaten hat ein PC einen Wert von € 850. Vier Monate später ist er noch € 750 wert. Nimm einen exponentiellen Wertverlust f(t)=N0*b^t an.

a) Stelle für den Wertverlust eine Funktionsgleichung auf!

b) Wie hoch ist der Neuwert des PC‘s?

c) Wie viel ist der PC nach 3 Jahren wert?

d) Wann ist der PC nur noch die Hälfte wert?

E4) Der Algenteppich eines Sees mit 10000 m² Wasseroberfläche beträgt zu Beobachtungsbeginn 95 m². Die Algenfläche nimmt täglich um 17 % zu.

a) Bestimme die Gleichung für das Algenwachstum f(t) und für die Wachstumsgeschwindigkeit f‘(t).

b) Wie groß ist die Algenfläche nach 20 Tagen?

c) Nach wie vielen Tagen ist der See völlig mit Algen zugewuchert?

E5) Ein bestimmter Bakterienstamm auf einer Nährlösung nimmt stündlich um 11% zu. Nach einem Tag gab es bereits 6120 Bakterien.

a) Wie viele Bakterien konnte man zu Beginn der Untersuchung feststellen?

b) Nach wie vielen Stunden war die Bakterienzahl bereits auf 2155 angewachsen?

E6) Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung annähernd exponentiell abgebaut wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der Vergiftung noch 2 mg des Giftes, drei Jahre später noch 1 mg vorhanden. Es sei N(t) die Giftmenge (in mg pro Liter Wasser) nach t Jahren.

a) Stelle die Formel für N(t) auf.

b) Welche Giftmenge ist nach 20 Jahren noch vorhanden?

E7) Die Gewerkschaft eines Landes fordert, dass die Löhne pro Jahr um 5 % steigen müssen. Jemand verdient heute 4 000 € monatlich.

a) Wie viel würde er in 2 bzw. 5 Jahren verdienen, wenn die Forderung der Gewerkschaft erfüllt wird?

b) Wann ungefähr würde er doppelt so viel verdienen wie heute?

E8) Erfahrungsgemäß wächst der Holzbestand eines Waldes um 3,8 % pro Jahr.

a) Nach wie vielen Jahren wird er sich verdoppelt, nach wie vielen Jahren verdreifacht haben?

b) Heute beträgt der Holzbestand 7200 m³. Man hat vor, in 3 Jahren 2000 m³ Holz zu schlägern. Wann wird der Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen?

E9) Nimm an, dass die Bevölkerung eines Staates mit derzeit 12 Mio. Einwohner pro Jahr um 2,5% zunimmt.

a) Ermittle die Funktion, die jedem Zeitpunkt die Einwohnerzahl dieses Staates zu diesem Zeitpunkt zuordnet.

b) Berechne, wie viele Einwohner dieser Staat nach 5 Jahren, nach 7,5 Jahren bzw. nach 20 Jahren hat.

c) Berechne, wie viele Menschen vor 2 Jahren in diesem Staat lebten.

d) Berechne, wie viele Menschen in 1000 Jahren in diesem Staat leben. Argumentiere, ob die Annahme: „die jährliche Zuwachsrate ist 2,5%“ sinnvoll ist.

E10) Plutonium 239Pu hat eine Halbwertszeit von 2400 Jahren.

Berechne, wie lange es dauert, bis von einer 239Pu-Probe nur noch 1% vorhanden ist.