Statistische Methoden, Aussagen und graphische Darstellungen finden heute in praktisch allen Gebieten vielfache Anwendungen.

In der beschreibenden Statistik geht es vor allem um die Aufbereitung von Daten. Diese werden geordnet, in Tabellen und Grafiken zusammengefasst und dargestellt. Zur kurzen und übersichtlichen Beschreibung werden Kennzahlen wie Mittelwerte, Streuung, usw. berechnet und mögliche Vergleiche und Zusammenhänge untersucht, z. B. in der Regressionsrechnung.

Historisch gesehen sind die ersten Anfänge der Statistik in den Volkszählungen zu sehen, wie sie etwa schon um Christi Geburt beschrieben wurden. Als selbständige Disziplin begann sich die Statistik aber erst im 18. Jahrhundert zu entwickeln, in dem sie dazu diente, die Merkmale zu beschreiben, die den „Zustand“ des Staates charakterisieren (Bevölkerung, Wirtschaft, Finanzen).

Der Begriff „Statistik“ hat sich aus dem lateinischen Wort „status“ (Zustand) gebildet.

Lange war die Statistik auf jene Gebiete beschränkt und findet auch heute dort noch fundamentale Anwendung (z. B. Amtliche Statistik).

Auch kann man davon ausgehen, dass die Menschen, seit sie angefangen haben, Güter herzustellen, die Herstellung dieser Güter überwachten und die Eigenschaften der fertigen Produkte beurteilten. Dass die Stichprobenprüfung bei der Qualitätsüberwachung keine Erfindung dieses oder des letzten Jahrhunderts ist, belegt die Herkunft des Wortes „Stichprobe“. Bereits vor vielen Jahrhunderten überzeugten sich die Käufer von Getreide und Baumwolle von deren Beschaffenheit, indem sie durch Einstechen der Getreidesäcke oder Baumwollballen diese Proben nahmen.

Den Beginn der statistischen Qualitätssicherung datiert man auf das Jahr 1924, in dem in den USA die Regelkartentechnik eingeführt wurde.

Erst etwa seit dem zweiten Viertel des 20. Jahrhunderts wurde begonnen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Methoden zur Analyse von statistischen Daten und zur Prüfung statistischer Hypothesen zu entwickeln. Die Methoden dieser „mathematischen“ Statistik wurden zu einem wirksamen Hilfsmittel in praktisch allen Wissenschaften, sowohl zur Beschreibung, wie auch etwa bei der Aufdeckung von Gesetzmäßigkeiten (Schließende Statistik)

Michela Walla und Djurdica Filipovic haben die Grundlagen der beschreibenden Statistik zusammengefasst.

Viktoria Kozdron aus der VBS Augarten hat eine Einführung der beschreibenden statistischen Berechnungen mit Excel zusammengestellt.

Anais Schweitzer hat für die Stochastik ein Beispiel erstellt und kommentiert.

S1) Übungsbeispiel Bio-Eier

Aufgabenstellung 1

Eine Auswahl von 40 Bio Eiern wurde gewogen. Die Messwerte in Gramm sind durch folgende Strichliste erfasst worden.

Stelle die Häufigkeitsverteilung in einem Stabdiagramm dar. Verwende dazu Excel.

Aufgabenstellung 2

Berechne das arithmetische Mittel der Massen der 40 Bio-Eier.

Aufgabenstellung 3

Lies den Modus ab und gib den Unterschied zwischen dem Modus und dem arithmetischen Mittel an.

Anais Schweitzer hat die folgenden Beispiele zum Üben der Analysis zusammengestellt und die Lösungen kommentiert. Es wurden auch alle Handlungsdimensionen und deren Bepunktungen angegeben.

A1) Übungsbeispiel Zugfahrt

Aufgabenstellung 1

Ein Zug fährt von A nach B.

Die Geschwindigkeit des Zuges auf dieser Strecke kann aus der Funktionsgleichung berechnet werden.

v(t)=-0,20*t²+0,80*t

t….Zeit in Minuten, seitdem der Zug die Station A verlassen hat

v(t)…Geschwindigkeit in km/min zum Zeitpunkt t

Der Zug fährt von A nach B ohne Zwischenstopps durch.

Berechne, wie lange die Fahrt dauert. [2P.]

Aufgabenstellung 2

Im Inneren des Zuges gibt es eine Anzeigetafel, die u.a. die bereits zurückgelegten Kilometer angibt.

t…Zeit in Minuten, seitdem der Zug die Station A verlassen hat

s(t)…der seit dem Verlassen der Station A zurückgelegte Weg in km

Gib die Funktionsgleichung an, die für die Berechnung der seit Verlassen der Station A gefahrenen Kilometer verwendet wird. [2P.]

Aufgabenstellung 3

Argumentiere mit Hilfe von Begriffen aus der Differentialrechnung, in welchem Zeitintervall die Beschleunigung des Zuges zunimmt. [2P.]

(Achtung: Berechnung des Zeitintervall zur Argumentation notwendig!)

A2) Übungsbeispiel Autofahrt

Aufgabenstellung 1

Du fährst mit dem Auto in 20 Minuten von Ort A nach B. Der zurückgelegte Weg ist durch die folgende Funktion in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben:

s(t)=-(6/300)*t³+(18/40)*t²

t…Zeit in Minuten

s(t)…Weg in Kilometer

Berechne, wie weit die beiden Orte voneinander entfernt sind. [2P.]

Aufgabenstellung 2

Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit erhältst du als Ableitung von s(t).

Berechne nach wie vielen Minuten die maximale Geschwindigkeit erreicht wird. [2P.]

Aufgabenstellung 3

Stelle die Wegfunktion s(t) und die Geschwindigkeitsfunktion v(t) so dar, dass das Intervall für t von 5 bis 10 gut ersichtlich ist. [1P.]

Erkläre den Zusammenhang der beiden Kurven. [1P.]

A3) Übungsbeispiel Handy Shop

Aufgabenstellung 1

Ein Handy-Unternehmen möchte weitere Filialen eröffnen. Der durchschnittliche wöchentliche Gewinn wird pro Shop um 500€ vermindert.

G(x)….gesamter Wochengewinn aus allen Shops in €

x…Zahl der neu geplanten Shops

Es existieren 10 Shops. Diese ergeben einen Durchschnittsgewinn von € 5000 pro Shop.

Gib eine Tabelle an, wie sich der Gesamtwochengewinn mit bis zu 5 neuen Shops verändert. [2P.]

Aufgabenstellung 2

Für eine bestimmte Region liefert die Marktforschung eine Gewinnfunktion von G(x)= -200x²+5.000x+18.500

Berechne, wie viele neue Shops in dieser Region errichtet werden sollen, damit der Gewinn maximiert wird. [2P.]

Hier findest du Beispiele, die nach den Kompetenzen des Lehrplans 2014 geordnet sind.

I. Jahrgang HAK (1. und 2. Semester)

Bildungs- und Lehraufgabe: Die Schülerinnen und Schüler können im ...

Bereich Funktionale Zusammenhänge – Funktionsbegriff und lineare Funktionen

• Die Definition der Funktion als eindeutige Zuordnung beschreiben,
• Funktionen als Modelle zur Beschreibung von Zusammenhängen zwischen Größen verstehen und erklären,
• Funktionen in einer Variablen in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen,
• das Modell der linearen Funktion in unterschiedlichen Kontexten, insbesondere mit Wirtschaftsbezug (Kostenfunktion, Erlös- bzw. Umsatzfunktion, Gewinnfunktion, Fixkosten, variable Kosten und Break Even Point) beschreiben und selbstständig lineare Modellfunktionen bilden,
• lineare Funktionen implizit und explizit darstellen und zwischen diesen wechseln,
• die Darstellungsformen linearer Funktionen interpretieren und erklären, insbesondere die Bedeutung der Parameter „Steigung“ und „Achsenabschnitt“,
• den Begriff der Umkehrfunktion auf lineare Funktionen anwenden.

3. Semester

Bereich Funktionale Zusammenhänge – Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

• Den Zusammenhang zwischen linearer Funktion und linearer Gleichung in zwei Variablen beschreiben,
• die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in zwei Variablen als Schnittpunkt zweier Geraden interpretieren.

4. Semester

Bereich Funktionale Zusammenhänge – Potenz-, Polynom- und Winkelfunktionen

• Potenz- und Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften interpretieren,
• quadratische Funktionen aus drei gegebenen Punkten bzw. aus dem Scheitel und einem weiteren Punkt des Funktionsgraphen aufstellen,
• die Bedeutung der Koeffizienten einer quadratischen Funktion f mit f(x)=ax^2+bx+c auf deren Verlauf ihres Graphen beschreiben und interpretieren,
• den Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung und den Nullstellen einer quadratischen Funktion interpretieren und damit argumentieren,
• das Modell der quadratischen Funktion in unterschiedlichen Kontexten, insbesondere mit Wirtschaftsbezug, anwenden,
• mit Hilfe des Einheitskreises die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion eines Winkels modellieren, interpretieren und grafisch darstellen.

5. Semester

Bereich Funktionale Zusammenhänge – Wachstums- und Abnahmeprozesse

• Den Begriff der Exponentialfunktion und deren Eigenschaften beschreiben,
• den Begriff der Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften beschreiben,
• Exponentialfunktionen grafisch darstellen,
• Exponentialfunktionen als Modelle für Zu- und Abnahmeprozesse interpretieren und damit Berechnungen durchführen,
• die Bedeutung der einzelnen Parameter der Exponentialfunktionen der Form f(x)=a*b^x bzw. f(x)=a*e^(k*x) beschreiben, diese in unterschiedlichen Kontexten deuten und damit argumentieren.

Bereich Funktionale Zusammenhänge – Wachstumsmodelle

• Die stetigen Modelle für lineares, exponentielles und logistisches Wachstum sowie das stetige Modell für beschränktes Wachstum der Form f(x)=S-a*e^(-lambda*x) bzw. f(x)=S+a*e^( lambda*x) beschreiben,
• mit diesen Modellen rechnen, diese grafisch darstellen, interpretieren und im allgemeinen und wirtschaftlichen Kontext deuten,
• die verschiedenen Modelle strukturell vergleichen und die Angemessenheit bewerten

Bereich Funktionale Zusammenhänge – Zins- und Zinseszinsrechnung

• Die einfache dekursive Verzinsung und die dekursive Verzinsung mittels Zinseszins für ganz- und unterjährige Zinsperioden sowie die stetige Verzinsung beschreiben,
• diese Verzinsungsmodelle kontextbezogen anwenden.

Hier findest du Beispiele, die nach den Kompetenzen des Lehrplans 2014 geordnet sind.

I. Jahrgang HAK (1. und 2. Semester)

Bildungs- und Lehraufgabe: Die Schülerinnen und Schüler können im ...

Bereich Algebra und Geometrie - Potenzen, Terme und lineare Gleichungen

• die Rechengesetze von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten anwenden und begründen,
• mit Termen rechnen, Terme umformen und dies durch Rechenregeln begründen,
• die Struktur eines Terms erkennen, um Terme mit der jeweiligen Technologie gezielt verarbeiten zu können,
• lineare Gleichungen für Aufgaben aus den Bereichen Prozentrechnung und Bewegung aufstellen,
• lineare Gleichungen in einer Variablen lösen,
• die Lösungsmenge einer linearen Gleichung in einer Variablen interpretieren, dokumentieren und in Bezug auf die Aufgabenstellung argumentieren,
• lineare Gleichungen (Formeln) in mehreren Variablen nach einer variablen Größe explizieren, die gegenseitige Abhängigkeit der Größen interpretieren und erklären.

3. Semester

Bereich Algebra und Geometrie- Potenzen

• Die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten beschreiben, die damit zusammenhängenden Rechengesetze anwenden und begründen,
• Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen,
• in Formeln, die auch Potenzen mit rationalen Exponenten enthalten, die gegenseitige Abhängigkeit der Größen interpretieren, erklären und nach einer variablen Größe explizieren.

Bereich Algebra und Geometrie- Lineare Gleichungssysteme

• Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen für Aufgaben aus den Bereichen Prozentrechnung und Bewegung aufstellen,
• verschiedene Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen anführen,
• lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen lösen,
• die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme interpretieren, dokumentieren (auch grafisch) und in Bezug auf die Aufgabenstellung argumentieren,
• Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen übersetzen, mit Hilfe von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren.

Bereich Algebra und Geometrie – Matrizen

• Die Matrizenschreibweise als Darstellungsform nennen, die Matrixelemente interpretieren und deuten,
• lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise darstellen, mit Hilfe der Matrizenrechnung umformen und technologieunterstützt lösen,
• Addition, Subtraktion, Multiplikation sowie die Berechnung der Inversen von Matrizen mit Hilfe der Technologie durchführen,
• die Matrizenrechnung auf wirtschaftliche Aufgabenstellungen anwenden und Gozintographen deuten.

4. Semester

Bereich Algebra und Geometrie – Quadratische Gleichungen 

• Quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen,
• die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in einer Variablen über der Grundmenge R interpretieren, dokumentieren und in Bezug auf die Aufgabenstellung argumentieren.

Bereich Algebra und Geometrie – Sinus, Cosinus, Tangens im rechtwinkeligen Dreieck

• Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels als Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck modellieren, interpretieren und argumentieren,
• zumindest rechtwinkelige Dreiecke mit Hilfe der Winkelfunktionen auflösen.

5. Semester

Bereich Algebra und Geometrie – Logarithmen und Exponentialgleichungen

• Den Begriff des Logarithmus beschreiben,
• logarithmische Rechengesetze anwenden,
• mit Hilfe des Logarithmus Exponentialgleichungen vom Typ a^(k*x)=b nach der Variablen x auflösen,
• komplexere Exponentialgleichungen mit Einsatz von Technologie lösen.

Hier findest du Beispiele, die nach den Kompetenzen des Lehrplans 2014 geordnet sind.

I. Jahrgang HAK (1. und 2. Semester)

Bildungs- und Lehraufgabe: Die Schülerinnen und Schüler können im ...

Bereich Zahlenbereiche und Zahlenmengen

• die Zahlenbereiche der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen beschreiben und damit rechnen,
• die Zahlenmengen auf der Zahlengeraden veranschaulichen,
• die Zahlenmengen mit Hilfe mathematischer Symbole beschreiben,
• die Beziehungen zwischen den Zahlenmengen herstellen und erklären.

Bereich Zahlen und Maße

• Berechnungen und Umwandlungen
• Zahlen in Fest- und Gleitkommaschreibweise darstellen, die Darstellungsform wechseln und damit rechnen,
• grundlegende Maßeinheiten (Längen-, Flächen-, Raum- und Hohlmaße, Zeit, Masse) beschreiben, diese zueinander in Beziehung setzen und damit rechnen,
• beliebige Maßeinheiten nach vorgegebenen Kriterien umwandeln,
• Ergebnisse von Berechnungen abschätzen,
• Zahlenangaben in Prozent und Promille verstehen, Prozente bzw. Promille berechnen und mit Prozent- bzw. Promilleangaben in unterschiedlichem Kontext rechnen,
• Berechnungen mit sinnvoller Genauigkeit durchführen und Ergebnisse angemessen runden.

4. Semester

Bereich Zahlen und Maße

• Winkelmaße - die verschiedenen Winkelmaße nennen und mit Altgrad und Bogenmaß rechnen.

Das ibc-: hetzendorf hat schon drei Mal erfolgreich am Schulversuch Teilzentrale Reife- und Diplomprüfung teilgenommen. Seit dem Sommer 2016 müssen alle Schülerinnen und Schüler im Fach Angewandte Mathematik zur Matura antreten. Es besteht aber die Möglichkeit zwischen der schriftlichen und mündlichen Variante zu wählen.

Erfahrungsgemäß empfiehlt es sich, möglichst alle Beispiele, die auf der Ex-Bifie-Website angeboten wurden, durchzurechnen. Seit dem 01.01.2017 wurde das Bifie in das Ministerium für Bildung integriert.

Diese Beispiele findest du jetzt auf der Website des Bundesministeriums für Bilding (BMB): www.aufgabenpool.srdp.at

Alle Klausurangaben inkl. Lösungen und alle Angaben der Kompensationsprüfungen inkl. Lösungen findest du auf: www.srdp.at/am

Bitte beachte, dass die Beispiele für die HAK im Cluster 8 sind.

Damit die einzelnen Fragestellungen in den Mathematik-Beispielen den verschiedenen Handlungsdimensionen zugeordnet werden können, wurde vom Bifie auch eine Signalwörter-Liste herausgegeben. So kannst du dir ein Bild davon machen, welche Fragen du bei der Matura erwarten kannst!

Außerdem gibt es Begriffekataloge zu Teil A und Teil B! Diese Begriffe müssen dir bekannt sein. Schau sie dir gut an, damit du dich im Text auskennst. (Stand 20.12.13)

Welche Inhalte werden nun im Teil A erwartet?

Auch hier gibt es vom Bifie für die Grundkompetenzen eine genaue Aufstellung über die Inhaltsdimensionen.

• "Zahlen und Maße"
• "Algebra und Geometrie"
• "Funktionale Zusammenhänge"
• "Analysis"
• "Stochastik" (Stand: 06.11.13)

Welche Inhalte werden nun im Teil B erwartet?

Der Teil B ist schulformspezifisch und umfasst ebenso alle Handlungskompetenzen. Auch hier gibt es eine genaue Aufstellung der Inhaltdimensionen. (Stand: 27.06.13)

Warum wird es eine standardisierte Zentralmatura geben?

Das wesentliche Ziel einer zentralen Reifeprüfung aus Mathematik und angewandter Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen für alle österreichischen MaturantInnen.

Was sind Kompetenzen?

Unter Kompetenzen versteht man längerfristig verfügbare Fähigkeiten und Dispositionen.

Welche Kompetenzen werden bei der Zentralmatura gefordert?

Die Grundkompetenzen im Teil A und die Fachkompetenzen im Teil B umfassen:

• Interpretieren: Zusammenhänge und Sachverhalte erkennen und interpretieren.
• Dokumentieren: Eigene Gedankengänge und Lösungsstrategien verständlich (schriftlich) darstellen.
• Operieren: Durchführung von Rechen- und Konstruktionsabläufen-Auslagerung an die verfügbaren Technologien.
• Modellieren: Beziehungen erkennen, Annahmen treffen und Vereinfachungen vornehmen.
• Transferieren: Übertragung fachlicher Kompetenzen in berufsbezogene Bereiche.
• Argumentieren: in mathematischer Fachsprache.

Die Kompetenzbereiche werden folgendermaßen zusammengefasst:

• Modellieren & Transferieren.
• Operieren & Technologieeinsatz.
• Reflektieren umfasst Interpretieren & Dokumentieren sowie Argumentieren & Kommunizieren.

Die Dauer der neuen standardisierten Reifeprüfung wird von momentan 240 Minuten auf 270 Minuten verlängert.

Da der Start der standardisierten Zentralmatura um ein Jahr verschoben wurde, werden die Schülerinnen und Schüler, die im Schuljahr 2011/12 mit der ersten Klasse begonnen haben, die ersten sein, die zur standardisierten Zentralmatura aus Angewandter Mathematik antreten müssen.

Das ibc-: hetzendorf hat sich schon in den Schuljahren 2012/13 und 2013/14 dazu entschlossen, am Schulversuch "Teilstandardisierte Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik" teilzunehmen. Das bedeutet, dass jene, die in Mathematik und angewandter Mathematik schriftlich zur Matura antreten (es besteht noch die Wahlmöglichkeit), eine zentral gestellte Angabe vom BIFIE bekommen. Die Arbeiten werden von den Lehrerinnen und Lehrern der einzelnen Klassen verbessert.

Links zu weiteren Informationen

Das Konzept der schriftlichen Reife- und Diplomprüfung findest du unter www.bifie.at/bhs

Aufgaben Prozentrechnung

http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_prozent_01/p0_prozent_01.htm

http://www.klassenarbeiten.de/klassenarbeiten/klasse7/mathematik/klassenarbeit156_prozentrechnen.htm

Arbeitsblätter Maße

http://www.hsbg.at/mathe/masze/

Der Lehrplan der 1. Klasse HAK/BIK sieht keinen Mathematik-Unterricht vor, es gab aber bis zum Schuljahr 2003/04 das Fach Wirtschaftliches Rechnen. Dieses wurde im Lehrplan 2004/05 in den Gegenstand Rechnungswesen integriert, gleichzeitig aber in Rechnungswesen im 1. Jahrgang eine Stunde autonom gestrichen. Daher entschloss sich das Mathematik-LehrerInnen-Team in Kooperation mit den RechnungswesenlehrerInnen einen Mathematikkurs „Mathematische Grundlagen“ (16 Unterrichtsstunden) für alle Schüler und Schülerinnen der 1. Klassen (HAK und BIK) anzubieten.

Ziel ist es, die mathematischen Grundlagen der Unterstufe im Hinblick auf die HAK/BIK zu wiederholen und so die mathematischen Leistungen zu erhöhen.

Welche Mathematik-Kenntnisse sollen die Schülerinnen und Schüler aus der Unterstufe mitbringen?

Lesen Sie auch den IMST-Projektbericht in Kurzfassung oder Langfassung!

Janett Chung und Una Einhaus vom Schulzentrum Ungargasse erklären, wie man bei einem Textbeispiel vorgeht.

Ebenso erklären Teuta Alushaj und Sayma Koza vom Schulzentrum Ungargasse anhand eines Beispiels, wie man Textbeispiele lösen kann.

Das Projekt unserer Schule hat sehr viele positive Rückmeldungen und Preise erhalten.