Die Schule besuchen derzeit rund 1600 SchülerInnen, die von mehr als 150 LehrerInnen unterrichtet werden.
Das ibc gehört zu den Standorten der Wiener HAK und zählt zu den qualitativ hervorragendsten Schulen des Landes. 2018 wurde das ibc zum Träger des Österreichischen Staatspreis für Schule und Unterricht 2018! gekürt. Die Schule zeichnet sich durch die moderne Ausstattung, den praxisbezogenen Unterricht und das aktive Umwelt- und Gesundheitsbewusstsein aus.
Zusätzlich ist Internationalität ein wichtiger Faktor, dieser wird u.a. durch den bilingualen Zweig der Handelsakademie, das bilinguale Kolleg, sowie durch viele internationale Projekte unterstützt.
Für das Lösen eines linearen Gleichungssystems gibt es mehrere Möglichkeiten:
Exponentialgleichungen sind dadurch charakterisiert, dass die Unbekannte, die zu berechnen ist, im Exponenten steht.
Schau dir zuerst noch den Zusammenhang zwischen den Potenzen und dem Logarithmus an!
Damit du üben kannst, schau dir einfach die folgenden Beispiele an und rechne sie nach! Sie wurden durchgerechnet von: Ana Klaric (pdf), Dominik Hajszan (pdf), Dominik Hajszan2 (pdf), Nikola Novakovic (pdf), Matthias Kühn (pdf), Iman Sabovic (pdf), Zeljko Grbic (pdf), Rainer Vanek(pdf), Matthias Kühn2 (pdf), Nedim Becirovic (pdf) und Djordjevic Aleksandar (pdf).
Wurzelgleichungen sind dadurch charakterisiert, dass in den Gleichungen Wurzeln vorkommen.
Bei diesen Gleichung musst du immer die Definitionsmenge berechnen und die Probe machen, da nicht alle Lösungen, die du ausrechnest auch wirklich Lösungen sind! Die folgenden Beispiele kannst du üben. Sie wurden durchgerechnet von: Hanife Celik (pdf), Aysun Dogan (pdf) und Oya Cagli (pdf)!
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Beim Operieren treten die verschiedensten Gleichungen auf:
In vielen Fällen ist die Lösung einer Gleichung auf ein Näherungsverfahren (z.B. Newtonsches Näherunsverfahren, lineare Interpolation) angewiesen.
Mit Excel kannst du jede Gleichung mit dem Solver lösen!
Funktionen dienen zur Darstellung und Beschreibung von Zusammnhängen und Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren Größen.
Unter einer Funktion verstehst du eine Vorscrift, die jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet.
Schreibweise: y = f(x) mit x ∈ D
x ist die unabhängige Variable oder Argument
y ist die abhängige Variable oder Funktionswert
D ist der Definitiobnsbereich der Funktion W ist der Wertebereich der Funktion.
E1) Der Zerfall eines radioaktiven Stoffes kann durch das Zerfallsgesetz beschrieben werden mit lambda = 0,5264, wenn t in Minuten angegeben wird.
a) Berechne die Abnahmerate pro Minute.
b) Bestimme die Halbwertszeit.
c) Anfangs waren 4*1010 radioaktive Kerne vorhanden. Berechne, wie viele Kerne nach Ablauf der Halbwertszeit noch nicht zerfallen sind.
E2) Exponentielles Wachstum einer Bakterienkultur: Nach 3 Stunden sind 1200 Bakterien, nach 5 Stunden sind bereits10 000 Bakterien vorhanden.
Anfangsbestand = ?
Wachstumsfaktor = ?
E3) Nach 6 Monaten hat ein PC einen Wert von € 850. Vier Monate später ist er noch € 750 wert. Nimm einen exponentiellen Wertverlust f(t)=N0*bt an.
a) Stelle für den Wertverlust eine Funktionsgleichung auf!
b) Wie hoch ist der Neuwert des PC‘s?
c) Wie viel ist der PC nach 3 Jahren wert?
d) Wann ist der PC nur noch die Hälfte wert?
E4) Der Algenteppich eines Sees mit 10000 m² Wasseroberfläche beträgt zu Beobachtungsbeginn 95 m². Die Algenfläche nimmt täglich um 17 % zu.
a) Bestimme die Gleichung für das Algenwachstum f(t) und für die Wachstumsgeschwindigkeit f‘(t).
b) Wie groß ist die Algenfläche nach 20 Tagen?
c) Nach wie vielen Tagen ist der See völlig mit Algen zugewuchert?
E5) Ein bestimmter Bakterienstamm auf einer Nährlösung nimmt stündlich um 11% zu. Nach einem Tag gab es bereits 6120 Bakterien.
a) Wie viele Bakterien konnte man zu Beginn der Untersuchung feststellen?
b) Nach wie vielen Stunden war die Bakterienzahl bereits auf 2155 angewachsen?
E6) Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung annähernd exponentiell abgebaut wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der Vergiftung noch 2 mg des Giftes, drei Jahre später noch 1 mg vorhanden. Es sei N(t) die Giftmenge (in mg pro Liter Wasser) nach t Jahren.
a) Stelle die Formel für N(t) auf.
b) Welche Giftmenge ist nach 20 Jahren noch vorhanden?
E7) Die Gewerkschaft eines Landes fordert, dass die Löhne pro Jahr um 5 % steigen müssen. Jemand verdient heute 4 000 € monatlich.
a) Wie viel würde er in 2 bzw. 5 Jahren verdienen, wenn die Forderung der Gewerkschaft erfüllt wird?
b) Wann ungefähr würde er doppelt so viel verdienen wie heute?
E8) Erfahrungsgemäß wächst der Holzbestand eines Waldes um 3,8 % pro Jahr.
a) Nach wie vielen Jahren wird er sich verdoppelt, nach wie vielen Jahren verdreifacht haben?
b) Heute beträgt der Holzbestand 7200 m³. Man hat vor, in 3 Jahren 2000 m³ Holz zu schlägern. Wann wird der Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen?
E9) Nimm an, dass die Bevölkerung eines Staates mit derzeit 12 Mio. Einwohner pro Jahr um 2,5% zunimmt.
a) Ermittle die Funktion, die jedem Zeitpunkt die Einwohnerzahl dieses Staates zu diesem Zeitpunkt zuordnet.
b) Berechne, wie viele Einwohner dieser Staat nach 5 Jahren, nach 7,5 Jahren bzw. nach 20 Jahren hat.
c) Berechne, wie viele Menschen vor 2 Jahren in diesem Staat lebten.
d) Berechne, wie viele Menschen in 1000 Jahren in diesem Staat leben. Argumentiere, ob die Annahme: „die jährliche Zuwachsrate ist 2,5%“ sinnvoll ist.
E10) Plutonium 239Pu hat eine Halbwertszeit von 2400 Jahren.
Berechne, wie lange es dauert, bis von einer 239Pu-Probe nur noch 1% vorhanden ist.
Viele Vorgänge in der Finanzmathematik, in der Wirtschaft oder in der Natur lassen sich mit Hilfe von Exponentialfunktionen beschreiben. Je nach Problemstellung wird zwichen einem exponentiellem Wachstum oder einer/m exponentieller Abnahme/Zerfall unterschieden.
Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- oder Zerfallsprozesse meist nur während einer relativ kurzen Zeitspanne. Bei vielen Vorgängen verlangsamt sich das Wachstum mit der Zeit, es wird von diskretem oder kontinuierlichem logistischem Wachstum gesprochen.
Hier findest du Beispiele zum Kapitel Exponentialfunktionen.
D1) Weg-Zeit Funktion (Beispiel Football)
Ein Football wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 7m/s geworfen. ( v0=7m/s)
Lösung, durchgerechnet von Laura Katzensteiner
D2) Von der Funktion f(x) = ax4 + bx2 + c weißt du, dass sie im Punkt W(-2/y) einen Wendepunkt besitzt. Die Gleichung der Wendetangente ist ebenfalls bekannt. Sie lautet: 4x - 3y + 8=0.
a) Gib an, wie viele Gleichungen notwendig sind, um die Unbekannten a, b und c zu berechnen.
b) Beschreibe die Funktionen, die gebraucht werden , um die notwendigen Gleichungen zu bilden.
c) Stelle die Gleichungen übersichtlich auf.
d) Bennene das Verfahren, mit dem dieses Gleichungssystem gelöst werden kann.
e) Löse das Gleichungssystem und gib die Gleichung der berechneten Funktion an.
Lösung, durchgerechnet von Karoline Stangl
D3)
a) Bestimmen Sie in der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d die Koeffizienten so, dass der Graph durch den Punkt N1 (0/0) verläuft und an der Stelle x = 4 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y = - 3x + 16 besitzt. Zeigen Sie die Übereinstimmung mit f(x) = ¼ x³ - 3x² + 9x.
b) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch: Fehlende Nullstellen, Extremwerte, Monotonie, Krümmung, grafische Darstellung.
Lösungen, durchgerechnet von Edita Barisic, VBS Augarten
Um Vorgänge in der Wirtschaft oder in den Naturwissenschaften, die sich durch Funktionen beschreiben lassen, zu untersuchen, wird oft die Frage beantwortet, wie sich Größen verändern, wenn die Voraussetzungen geändert werden. Diese Änderungsraten werden mathematisch durch die so genannte "Ableitung" der zugehörigen Funktionen beschrieben.
Die zugehörige mathematische Disziplin ist die Differentialrechnung.
Unabhängig voneinander haben der englische Physiker und Mathematiker Isaak Newton (1643-1727) und der deutsche Philosoph und Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) die Grundlagen der Differentialrechnung gelegt. Newton ging vom Problem der Momentangeschwindigkeit und Leibniz vom Problem der Tangentensteigung aus.
Verschiedene Erklärungen sollen bei der Erarbeitung des Themas behilflich sein:
Anna Dengg erklärt, wie du bei einer Kurvendiskussion einer Polynomfunktion vorgehst,
Melanie Gräbner beschreibt ebenso eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion,
Marcus Dokulil hat die Grundlagen der Differentialrechnung (pdf-Format) in einer Powerpräsentationen zusammengefasst.
Aris Ökonomidis erklärt, wie du eine Kurvendiskussion mit Hilfe von Excel löst.
Emina Muharemovic und Amela Sehic beschreiben, wie du die Kurvendiskussion mit Hilfe von Geogebra löst (pdf-Format). Eine ausgezeichnete Einführung mit Lernpfaden findest du unter: http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/index.htm
Bozana Simic und Daniela Vakudin erklären, wie du eine Umkehraufgabe löst.
Edita Barisic von der VBS Augarten hat ein paar Übungen zu den Ableitungsregeln für euch durchgerechnet.
Hier findest du Beispiele zur Differentialrechnung.
Wir haben den Staatspreis!