L1) Führe eine Gewinnoptimierung durch unter folgenden Annahmen:

Eine Großmolkerei möchte 2 neue Milchmixgetränke auf den Markt bringen. Jedes Getränk wird in der ersten Maschine vermischt und von der zweiten Maschine abgefüllt.

Auf der ersten Maschine können in einer Arbeitsstunde höchstens 12 ME des Getränks A oder 15 ME des Getränks B oder eine entsprechende Kombination von A und B verarbeitet werden. Auf der zweiten Maschine können höchstens 18 ME von A oder 9 ME von B oder eine entsprechende Kombination von A und B abgefüllt werden. Das Mischgetränk A muss außerdem einen Aufschäumungsvorgang durchlaufen, der mit einer Kapazität von höchstens 9 ME pro Arbeitsstunde limitiert ist.

Der prognostizierte Gewinn beträgt für 1 ME des Milchmixgetränks A 500 GE, für 1 ME des Getränks B 800 GE.

Ermitteln Sie durch lineare Optimierung den größtmöglichen Gewinn!

Lösung mit Excel Lösung händisch

L2)

a) Lineare Optimierung - „Von der Straße auf die Schiene“

Ein Betrieb benötigt für seine Produktion die drei Grundstoffe G1, G2 und G3.

Die Zulieferfirma Z1 kann pro Lieferung 5 t (=Tonnen) G1, 1 t G2 und 1 t G3 anliefern.

Zulieferfirma Z2 kann pro Lieferung 2 t G1, 1 t G2 und 4 t G3 bereitstellen.

Der Betrieb benötigt mindestens 26 t G1, 10 t G2 und 16 t G3.

Zulieferfirma Z1 kann den größten Teil des Transportweges per Bahn zurücklegen, 20 Kilometer werden mit dem LKW zurückgelegt.
Zulieferfirma Z2 wickelt die Anlieferung auf einer Strecke von 50 Kilometern mit dem LKW ab.

Der Betrieb ist sich der Problematik die CO– Emissionen und den Klimawandel betreffend bewusst und will auf eine umweltschonende Anlieferung achten. Die Grundstoffe sollen so angekauft werden, dass die Transportwege mit möglichst wenigen LKW-Kilometern erfolgen.

Ermttle, wie viele Lieferungen von Z1 bzw. von Z2 bestellt werden sollen.

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b) Beschreibende Statistik

Vom Grundstoff G2 wurde pro Lieferung rund 1 t angeliefert. Die exakten Liefermengen ergaben sich mit

1005 kg ; 1002 kg ; 998 kg ; 1003 kg ; 1001 kg ; 1000 kg ; 1001 kg ;
1250 kg ; 1001 kg ; 999 kg ; 1000 kg; 1003 kg; 1004 kg; 1001 kg;
999 kg; 1001 kg; 1000 kg; 1001 kg; 998 kg; 1001 kg .

Berechne das arithmetisches Mittel, den Modus und den Median. Diskutiere die Aussagekraft der drei Zentralmaße. Berechne weiters als Streuungsmaß die Standardabweichung unter Beachtung der Besonderheit der angegebenen Daten.

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L3) Lineare Planungsrechnung

Ein Teeimporteur will seine Produktpalette mit zwei indischen FAIRTRADE – Teesorten – Assam und Darjeeling – erweitern. Die monatliche Lieferkapazität beträgt 750 kg Assam und 700 kg Darjeeling.

Vor der Verpackung muss der Tee getrocknet und gereinigt werden.

1 kg Darjeeling befindet sich 3 Stunden im Trockner, 1 kg Assam kommt dagegen mit 2/3 der Zeit aus. Der Trockner steht monatlich für 2700 Stunden zur Verfügung.

Die Reinigung des Tees erfolgt mechanisch mit Hilfe einer Spezialmaschine, die 170 Stunden im Monat genutzt werden kann. Für die Reinigung eines Kilogramms Assam benötigt die Maschine 12 Minuten, für ein Kilogramm Darjeeling 6 Minuten.

Für die Verpackung wird ungebleichtes Papier verwendet. Monatlich stehen 3600 Bögen Papier zur Verfügung, wobei für 1 kg Assam 4 Bögen verbraucht werden, für 1 kg Darjeeling 3 Bögen.

Der Teeimporteur hofft, dass er pro Kilogramm Assam einen Gewinn von € 18,-- und pro Kilogramm Darjeeling € 10,-- erzielen wird.

a) Ermitteln Sie durch lineare Optimierung den bestmöglichen Produktionsplan, wenn der Gewinn möglichst groß werden soll.

b) Übertragen Sie die Aufgabenstellung in ein lineares Ungleichungssystem und leiten Sie die Lösung graphisch her. (Einheit: 1cm = 100kg)

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L4) Nach einer Naturkatastrophe in einem fernen Land soll ein Transportflugzeug in die Krisenregion geschickt werden, um humanitäre Hilfe zu leisten. Die Hilfsorganisation will die notleidende Bevölkerung mit Trinkwasser, Lebensmitteln, Medikamenten und Decken versorgen.

Um die Menschen mit Wasser zu versorgen, sollen pro Erwachsenem 50 Liter, pro Kind 40 Liter bei einer Maximalkapazität von 24 000 Liter mitgenommen werden.

Es können höchstens 10 000 kg Lebensmittel transportiert werden, wobei für jeden Erwachsenen 25 kg und für jedes Kind 10 kg vorgesehen sind.

Medikamente, Decken und Kleidung dürfen höchstens 900 m³ Laderaum des Flugzeuges ausmachen. Es wird angenommen, dass pro Erwachsenem 1 m³ Laderaum und pro Kind 2 m³ Laderaum ausreichen müssten.

Ziel der Hilfsaktion ist es, möglichst vielen Menschen – Erwachsenen und Kindern – zu helfen.

a) Entwerfe einen mathematischen Ansatz und löse durch lineare Optimierung dieses Problem. Berechne, wie vielen Erwachsenen und Kindern geholfen werden kann.

b) Ermittle, wie sich die Aufgabenstellung und die Lösung verändert, wenn mindestens 300 Erwachsene versorgt werden müssen.

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L5) Aus den Rohmaterialien R, S und T sollen zwei Produkte A und B hergestellt werden. Die Vorräte und die benötigten Mengen für die Herstellung eines Stücks von A bzw. B sind in folgender Tabelle angegeben:

Erstelle bitte graphisch das optimale Fertigungsprogramm, wenn der Gewinn für A 12 GE/kg und für B 20 GE/kg beträgt und der Gewinn möglichst groß sein soll.

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L7) Die Strickstrumpf KG stellt Socken, Kniestrümpfe und Strumpfhosen aller Art her.

Neu ins Programm aufgenommen werden demnächst zwei Arten von Baumwollstrumpfhosen, die auf einer zu diesem Zweck angeschafften Spezialmaschine mit einer Kapazität von 10.200 Minuten pro Monat produziert werden sollen.

Modell „Luxus“ verbraucht davon pro Stück 12 Minuten, Modell „Jedermann“ lediglich 6 Minuten.

Die zur Herstellung beider Strumpfhosen benötigte Baumwolle ist auf Röllchen zu je 100g gewickelt, von denen pro Monat 3.600 Stück zur Verfügung stehen. Diese Menge vermindert sich durch die Produktion von „Luxus“ um 4 Röllchen und von „Jedermann“ um 3 Röllchen pro Stück.

Eine Verpackungsmaschine der Unternehmung kann für 2.700 Minuten pro Monat freigestellt werden und wird von einer Strumpfhose „Jedermann“ 3 Minuten in Anspruch genommen. Die Luxusausführung kommt dagegen mit 2/3 der Zeit aus.

Die Strickstrumpf KG möchte das Modell „Luxus“ zu 18,- € pro Stück und das Modell „Jedermann“ zu 10,- € pro Stück anbieten und rechnet bei diesen Preisen mit Absatzhöchstmengen von 750 Stück für „Luxus“ und 700 Stück für „Jedermann“ pro Monat.

Bestimme die Anzahl der Strumpfhosen, die vom Modell „Luxus“ und vom Modell „Jedermann“ hergestellt werden sollen, damit der Erlös maximal ist.

Übertrage die Aufgabenstellung in ein lineares Ungleichungssystem und leite die Lösung graphisch her. (Einheit: 1cm = 100 Stück)

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