R1) Jemand tätigt jährliche, nachschüssige Zahlungen von 5000 € für 20 Jahre mit einem Zinssatz von 6% p.a. Berechne, wie hoch eine einzelne Zahlung nach dem fünften Jahr sein muss, die die gesamten jährlichen Zahlungen ersetzt.

R2) Herr M hat vor kurzem einen Kredit aufgenommen und muss innerhalb von 10 Jahren jährlich eine nachschüssige Rate von 2500 € einzahlen, um seine Schuld zu begleichen. Der Zinssatz beträgt 4% p.a. Jedoch will Herr M diese Raten erst nach 2 Jahren bezahlen. Berechne, wie sich die Ursprungsrate verändert, wenn Herr M trotzdem die Raten innerhalb dieser 10 Jahre eingezahlt haben will.

R3) Es wird auf ein mit 3% p. a. verzinstes Konto jährlich Geld eingezahlt. Berechne, wie hoch der Kontostand nach 7 Jahren ist, wenn regelmäßig nachschüssige Beträge in der Höhe von 2.000,- € eingezahlt werden.

R4) Herr A muss innerhalb von 12 Jahren nachschüssig 3500 € jährlich einzahlen, damit er seine Schulden begleicht. Allerdings möchte er die Zahlungen erst nach 3 Jahren tätigen. Berechne, wie sich die Rate von 3500 € verändert, wenn Herr A dennoch innerhalb derselben 12 Jahre fertig sein möchte. Der Zinssatz beträgt 5% jährlich.

R5) Eine Rente von 4000,- € im Monat wird mit 5 % p.a. 10 Jahre lang verzinst. Wie hoch ist der Zukunftswert, wenn die Zahlungen am Jahresbeginn bzw. am Jahresende zu leisten sind?

R6) Eine Mutter bezahlt für die Ausbildung ihres Sohnes jährlich zu Jahresende, beginnend am 1.1.08, bis einschließlich 31.12.19 den Betrag von € 1.250,00 € auf ein mit i=4% p.a. verzinstes Konto. Welcher Betrag steht dem Sohn mit der letzten Einzahlung zur Verfügung?

R7) Eine Rentenzahlung von € 1.500,- pro Jahr wird 10 Jahre lang geleistet, wobei der Zinssatz 5 % p.a. beträgt. Wie groß ist der Endwert, wenn die Zahlungen vorschüssig bzw. nachschüssig erfolgen?

R8) Eine Rentenzahlung von jährlich € 1500,- wird 10 Jahre lang geleistet. Der Zinssatz beträgt 2% p.a.. Wie hoch ist der Rentenendwert, wenn die Zahlungen zu Beginn bzw. am Ende eines jeden Jahres erfolgen?

R9)
a) Eine Rentenzahlung von jährlich € 4.500,- wird 13 Jahre lang geleistet. Der Zinssatz beträgt 3,5% p.a.. Wie hoch ist der Rentenendwert, wenn die Zahlungen zu Beginn eines jeden Jahres erfolgen?

b) Eine Rentenzahlung von jährlich € 7.000,- wird 8 Jahre lang geleistet. Der Zinssatz beträgt 5%. Wie hoch ist der Rentenendwert, wenn die Zahlungen am Ende eines jeden Jahres erfolgen?

R10) Herr Tomislav hat vor kurzem einen Kredit aufgenommen und muss innerhalb von 8 Jahren jährlich eine nachschüssige Rate von 2000 € einzahlen, um seine Schuld zu begleichen. Der Zinssatz beträgt 3% p.a. Jedoch will Herr Tomislav diese Renten erst nach 3 Jahren zahlen. Wie verändert sich die Ursprungsrate, wenn Herr Tomislav trotzdem die Rente innerhalb dieser 8 Jahre eingezahlt haben will?

R11) Bei einer vorschüssig zahlbaren zwölfjährigen Rente mit der Rate € 1200 werden nach der zweiten Rate drei Ratenzahlungen ausgesetzt. Danach werden Zahlungen fortgesetzt, wobei es bei insgesamt 12 Zahlungen bleiben soll. Wie hoch muss die Höhe der neuen Rate sein, um die Unterbrechung auszugleichen? (i=5 %)

Lösungen u.a. von Maiken Greimel

R12) Eine Schuld von € 30. 000,- ist in 15 Jahren durch gleiche, nachschüssige Semesterraten zu tilgen. (j₂ = 6 %)

a) Wie hoch ist die Kreditrate? Nachdem diese Raten 5 Jahre lang entrichtet wurden, muss der Schuldner 3 Jahre lang mit den Zahlungen aussetzen und zahlt danach wieder regelmäßig weiter.

b) Welcher Betrag müsste am Ende des 8. Jahres geleistet werden, um die fehlenden Zahlungen auszugleichen?

c) Wie groß wäre die Restschuld am Ende des 15. Jahres, wenn diese Nachzahlung nicht erfolgt?

d) Um welchen Betrag erhöht sich die ursprüngliche Rate nach Wiederaufnahme der Zahlungen, wenn keine Nachzahlungen erfolgt und die Schuld termingerecht zu tilgen ist?

R13) Familie Vamuki legt regelmäßig am Ende jedes Monats € 400,- auf das Sparbuch einer Bank, die mit j₄ = 4 % verzinst. Nach 6 Jahren braucht die Familie für ihren Wohnungskauf € 50. 000,-. Sie verwendet dazu ihr gesamtes Sparguthaben samt Zinseszinsen.

a) Wie viel Kapital fehlt auf den Kaufbetrag? Für den restlichen Betrag gewährt die Bank Sparefroh der Familie einen Kredit über 10 Jahre, der durch nachschüssige Jahresraten bei i = 9 % p.a. zu tilgen ist.

b) Wie hoch ist die Kreditrate? Nach 4 Jahren kann die Familie einen einmaligen Betrag von € 5. 000,- zusätzlich entrichten.

c) Um wie viel Jahre verkürzt sich die Rückzahlungsdauer, wenn die ursprünglichen Raten beibehalten werden und wie hoch ist der Rentenrest zugleich mit der letzten Vollrate?

Z1) Für eine Realität bieten:

A: € 30.000,- sofort, € 100.000,- in 2 Jahren, € 50.000,- in 4 Jahren;

B: € 50.000,- sofort, € 50.000,- in 1 Jahr, € 80.000,- in 4 Jahren.

Berechne, welches Angebot für den Verkäufer besser ist. (i = 4% p.a.)

Z2) Ermittle den heutigen Verkaufspreis eines Hauses, wenn als Zahlungen € 100.000,- sofort, € 50.000,- nach 1 Jahr und € 80.000,- nach 3 Jahren vereinbart sind. (i = 7% p.a.)

Lösung

Z3) Für ein Grundstück bieten:

A: € 500.000,- bar,

B: € 670.000,- nach 5 Jahren.

Berechne, welches Angebot besser ist. (i= 6% p.a.) Ermittle, welchen zusätzliche Betrag von A bzw. von B sofort, nach 3 Jahren, nach 5 Jahren angeboten werden müsste, um ein gleichwertiges Angebot zu stellen.

Lösung

Z4) Von einer Schuld von € 48.000,-, die mit 6% p.a. verzinst wird, werden nach 5 Jahren € 3.500,- und nach 8 Jahren € 11.000,- rückbezahlt. Berechne die Schuld nach 10 Jahren.

Z5) Zwei Kapitalien, die zusammen € 16.000,- betragen, unterscheiden sich nach Aufzinsung mit i = 4% p.a. nach 6 Jahren um € 6.700,-. Berechne die beiden Kapitalien.

Lösung

Z6) Berechne den Zinssatz i, bei dem das Endkapital nach 10 Jahren gleich dem 1,2-fachen Endkapital nach 7 Jahren ist.

Z7) Ermittle den Zinssatz, bei dem € 5.900,- in 15 Jahren den gleichen Endwert wie € 9.700,- zu i`= 3% in 12 Jahren ergeben.

Z8) Die Jahreszinsen einer Stiftung von € 1.000.000,-, die zu 5% p.a. angelegt sind, sollen als Stipendium an Studenten ausbezahlt werden, wenn die Stiftungssumme auf mindestens € 1.400.000,- angewachsen ist. Berechne, nach wie vielen Jahren das erste Stipendium ausbezahlt werden kann und wie hoch es ist.

Z9) Ein Kapital von € 30.000,-, das 20 Jahre mit dekursiven Zinseszinsen angelegt war, bringt jetzt bei i = 3% p.a. € 3.100.- Zinsen jährlich. Berechne, zu welchem Zinssatz es angelegt war.

Hier findest du Beispiele zur Zinsenrechnung.

Hier findest du Beispiele zur Rentenrechnung.

Mehr über Zahlen und Rechenregeln:
http://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i.html?großeSchrift#72

Interaktive Tests über Zahlen:
http://www.mathe-online.at/tests/zaheln/zalenmengen/html

Um Mathematik verstehen zu können und Regeln erlernen zu können, bedarf es der Sprache der Mathematik. Dabei bietet die Mengenlehre eine Sprechweise an, in der mathematische Begriffe formuliert werden können und die auch weltweit verstanden wird.

Was ist eine Menge?

Definition (Georg Cantor): Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Beispiel:

Die Menge M der Sprachen, die in der HAK unterrichtet werden, die Sprachen sind die Elemente

Die Schreibweise erfolgt in 2 Möglichkeiten:

Das aufzählende Verfahren:

M = {Deutsch, Englisch, Spanisch,….}

oder das beschreibende Verfahren:

M = {x ∈ Unterrichtsfächer der HAK | x ist eine Sprache}

Mehr über Zahlen und Rechenregeln:
http://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i.html?großeSchrift#72

Interaktive Tests über Zahlen:
http://www.mathe-online.at/tests/zaheln/zalenmengen/html

W1)

a) Laut Fertigverpackungsverordnung beträgt die zulässige Höchstabweichung bei Verpackungen bis 50 g maximal 9%, bei größeren nur 3%.

Welches Mindestgewicht hätte dann eine 50g - Packung und eine 200g - Packung?

b) Die Arbeiterkammer stellte bei ihrer Überprüfung bei den 50g - Packungen ein durchschnittliches Gewicht von 50,5g und eine Standardabweichung von 1,5g fest.

Wie viele Prozent der 50g - Packungen waren untergewichtig?

Wie viele Prozent der 50g -Packungen waren unter der zulässigen Höchstabweichung?

c) Ein Lebensmittelhändler möchte selbst kontrollieren und nimmt eine Stichprobe von 10 Stück 50g - Packungen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

c2) genau 2 Packungen

c2) weniger als drei Packungen untergewichtig sind?

d) Wie viele 50g -Packungen müsste er mindestens prüfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine untergewichtige Packung zu finden, 90% übersteigt?

e) Welche Verteilung haben Sie für den Punkt c) verwendet?

Begründen Sie Ihre Wahl mit zwei Argumenten.

W2) Die Abteilung Marktforschung einer bekannten Werbeagentur entschließt sich, die Werbewirksamkeit einer Zeitungsanzeige für das Produkt „Waschdich" anhand von Verkaufsdaten zu messen.

Die Agentur zieht eine einfache Stichprobe von 200 Familien, die diese Tageszeitung, in der die Anzeige erschienen ist, abonniert haben, und führt nach 2 Wochen Werbung eine Befragung durch:

a) Testen Sie, ob die Zeitungsanzeige sich auf das Kaufverhalten ausgewirkt hat. (Irrtumswahrscheinlichkeit: 1%)

Führen Sie die Berechnungen mit Excel und am Arbeitsblatt durch. Begründen Sie Ihre Lösung mathematisch.

b) Um eine weitere Marktanalyse durchzuführen, entschließt man sich in einem großen Supermarkt die täglichen Verkaufszahlen dieser Seife durch 3 Monate hindurch zu erheben:

Tägliche Verkaufszahlen (Stück)     30 - 40       40 - 50        50 - 60       60 - 70      70 - 80 __________________________________________________________________________

Anzahl der Tage                                  11              20               35              18               6

b1) Berechne die durchschnittliche tägliche Verkaufszahl und die Standardabweichung?

b2) Zeichnen ein Histogramm.

Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die tägliche Verkaufszahl

c) von 75 Stück überschritten wird.

d) von 50 Stück unterschritten wird.

e) zwischen 50 und 75 Stück verkauft werden.

f) Argumentiere, welche Verteilung für die Berechnung von c) - e) zur Anwendung kommt.

Begründe mathematisch, warum du diese Verteilungsfunktion verwendet hast.

W3) Beim Kauf eines Faxgerätes wird jedem Kunden ein Fragebogen im Rahmen einer jährlichen Kundenumfrage zur Bewertung des Produktes mitgegeben.

Eine gestellte Frage testet die Zuverlässigkeit des gekauften Gerätes. Dabei ergab sich für das Jahr 2010 folgende Verteilung:

Beantworte folgende Farge: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Bewertung der Zuverlässigkeit und dem Geschlecht des Käufers? (Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%)

Führen die Berechnungen mit Excel und am Arbeitsblatt durch. Begründe deine Lösung mathematisch.

Erfahrungsgemäß tritt mit der Wahrscheinlichkeit von 2% während der Garantiezeit von einem Jahr ein Fehler auf.

b) Ein Händler verkauft 20 Geräte.

Berechne die Wahrscheinlichkeit,

b1) dass 3 Geräte defekt sind.

b2) weniger als 4 Geräte defekt sind?

b3) Wie viele Geräte müsste man prüfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens ein defektes Gerät zu haben, 95 % übersteigt?

c) Ein Großmarkt verkauft 500 Faxgeräte. Berechne, in welchem Bereich die Anzahl der Fehler mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit liegt.

d) Argumentiere, welche Verteilungen du die Berechnungen aus b) und c) verwendet hast.

Begründen deine Wahl.

Lösungen mit Excel      Lösungen händisch

W4) In einer Fabrik wird Tafelglas hergestellt. Die Produktion ist auf drei Maschinen A, B und C zu 50%, 30% und 20% verteilt. Der Bruchglasanteil bei den einzelnen Maschinen beträgt 3%, 4% und 5%.

a) Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm übersichtlich dar.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der Produktion entnommene Glasplatte gesprungen ist.

Im Zuge der Qualitätskontrollen werden auch die Dicken der Glasplatten überprüft. Eine Stichprobe von 20 Glasplatten ergab folgende Messungen (in mm):

4,20; 4,35; 3,75; 4,05; 4,00; 3,95; 3,80; 4,10; 3,60; 3,55; 4,10; 4,00; 4,40; 3,95; 4,05; 4,14; 3,85; 3,65; 4,30; 4,20.

c) Ermittle den Erwartungswert und die Standardabweichung. (auf 2 Dezimalen)

Angenommen, die Dicken aller Glasplatten der Produktion sind normalverteilt.

d) Gib das Konfidenzintervall an, in dem mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit die brauchbaren Glasplatten liegen.

e) Wie viele Glasplatten muss man mindestens überprüfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine defekte zu erhalten, 90 % übersteigt? Verwende zur Berechnung den Ausschussanteil aus b).

f) Der Anteil an Ausschuss wird durch den Einsatz einer neuen Maschine auf 1% gesenkt. Wie hat sich der Erwartungswert bei gleichbleibender Standardabweichung und gleicher Toleranzgrenzen von ± 0,3 verschoben?

Lösungen mit Excel     Lösungen händisch

W5)

a) Die Ergebnisse einer Erhebung, die feststellen soll, ob das Alter eines Autofahrers einen Einfluss auf die Anzahl der Unfälle hat, in die er verwickelt ist, sind in der nachstehenden Tabelle dargestellt.

Teste bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% bzw. 1% die Hypothese, dass zwischen der Anzahl der Unfälle und dem Alter des Fahrers ein Zusammenhang besteht.

Führen die Berechnungen mit Excel und am Arbeitsblatt durch. Begründe deine Lösung mathematisch.

b) Bei einer verkehrspsychologischen Untersuchung an 12 Personen verschiedenen Alters wurden folgende Punktwerte in einer Reaktionstestserie ermittelt:

Alter                20     25      42     44      31     58     47    19    51     28    32    48

Punkte            48     53      47     45      50     28     40    47     42     50    51   46

Zeichnen ein Streudiagramm und berechne, ob das Punkteergebnis beim Test mit dem Alter korreliert, füge die Trendlinie ein.

Begründe deine Aussage.

c) Berechne die durchschnittlich erreichte Punktezahl beim verkehrspsychologischen Test der 12 Personen aus b) und die Standardabweichung.

Erfahrungsgemäß ist die erreichte Punktezahl normalverteilt.

d) Berechne, in welchem Intervall mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Punktewerte liegen.

e) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass jemand bei der verkehrspsychologischen Prüfung weniger als 42 Punkte hat. Vergleiche mit der oben genannten Stichprobe von 12 Personen den tatsächlichen Anteil und nimm dazu Stellung.

Lösungen mit Excel    Lösungen händisch

Statistische Methoden ermöglichen die Beurteilung von Zähl- und Messergebnissen.

Dazu bedient man sich der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Sie liefert das Rüstzeug zur Erfassung von sogenannten Zufallsvorgängen (=Zufallsexperimenten).

Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass bei ihrer Durchführung das Ergebnis (= Ereignis E) nicht oder nur in gewissen Grenzen voraussagbar ist. (Es sind aber alle möglichen Ergebnisse bekannt).

Beispiele von Zufallsexperimenten mit möglichen Ergebnissen (Ereignissen):

Schreibweise: P(E) ..... Wahrscheinlichkeit (lat. probabilitas) für das Eintreffen des Ereignisses E.

Was ist Wahrscheinlichkeit, wie kann man sie definieren?

Es gibt drei Möglichkeiten, den Wahrscheinlichkeitsbegriff zu definieren, bzw. mit ihm zu rechnen:

1. Klassische Definition (Laplace 1812)
2. Statistische Definition (Bernoulli, 1713)
3. Axiomatische Definition (Kolmogoroff, 1933)

T1) Schneebergbahn

Die Schneebergbahn führt mit einer Streckenlänge von 9,8 km beginnend in Puchberg am Schneeberg (577m) auf den Hochschneeberg, wo sich auf 1795 m der höchstgelegene Bahnhof Österreichs befindet.

A) Ermittle die durchschnittliche Steigung der Schneebergbahn. [2P.]

B) Ein Streckenabschnitt weist eine Steigung von 13,5% auf. Berechne, welchem Steigungswinkel dies entspricht. [2P.]

In der Trigonometrie werden Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Winkeln einer geometrischen Figur durch Formeln dargestellt. Diese Beziehungen werden mit den Winkelfunktionen beschrieben und berechnet.

Weitere Beispiele Trigonometrie.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein Ausdruck, der aus Variablen besteht, für die Zahlen eingesetzt werden können.

Beispiele:

• Linearer Term: a+b
• Polynome: a² - 3b³ + 4c
• Bruchterm:
• Wurzelterm:

Wie werden Terme umgeformt?

Die folgenden Rechenregeln sind zu beachten:

• Vorrang-, Vorzeichen- (pdf-Format) und Klammerregeln

• Regeln für Potenzen und Wurzeln

• Binomische Formeln

• Division von Polynomen

• Regeln für Brüche

Weitere Informationen zu den Termen und Termumformungen:
http://www.mathe-online.at/mathint/var/i.html

Weitere Informationen zu den Bruchrechungen:
http://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i_bruchrechnen.html#add

Hier kannst du die Division von Polynomen üben:
http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p3_gr_fkt_024/p3_gr_fkt_024.htm
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm#aufgaben

Bei der Regressions- und Korrelationsanalyse wird der Zusammenhang zwischen zwei quantitativen Merkmalen untersucht.

REG 1) Die folgende Tabelle gibt Alter und Brutto-Einkommen von 7 Personen in einem Unternehmen an.

a) Zeichne ein Streudiagramm, welches das Merkmal Einkommen in Abhängigkeit des Alters zeigt!

b) Finde mit Hilfe der Regressionsanalyse eine lineare Funktion und gib die Gleichung an!

c) Beurteile mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten den Zusammenhang zwischen Einkommen und Alter.